Em física, o fator de Boltzman é um fator de ponderação que determina a probabilidade relativa de um estado ${\displaystyle i}$, num sistema com múltiplos estados em equilíbrio termodinâmico a temperatura ${\displaystyle T}$.^[1]

${\displaystyle e^{-{\frac {E_{i}}{k_{B}\,T}}}}$

x

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

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X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......
  
  X =

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.

  x
• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
• X
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

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           D

Onde ${\displaystyle k_{B}}$ é a constante de Boltzmann, e ${\displaystyle E_{i}}$ é a energia do estado ${\displaystyle i}$. A relação das probabilidades dos estados é dada pela relação (quociente) de seus fatores de Boltzmann.

O fator de Boltzmann não é em si mesmo uma probabilidade, já que não está normalizada. Para normalizar o fator de Boltzmann e converter-lo numa probabilidade, deve-se dividi-lo pela soma ${\displaystyle Z}$ dos fatores de Boltzmann de todos os estados possíveis do sistema, o qual se denomina função de partição. Desta forma se obtem a distribuição de Boltzmann.

A partir do fator de Boltzmann é possível desenvolver a estatística de Maxwell-Boltzmann, a estatística de Bose-Einstein e a estatística de Fermi-Dirac que regem as partículasclássicas como também os bósons e férmions na mecânica quântica, respectivamente.

Numa teoria quântica de campos, a regularização de divergências e a renormalização são geralmente vistas apenas como técnicas para tornar funções de correlações finitas. Contudo, elas possuem um significado físico muito profundo e mais importante: a descrição de teorias quânticas de campos mudam conforme a escala de energia. Essa ideia foi introduzida por Kenneth Wilson^[1] e é quantificada pelas equações do grupo de renormalização.

Grupo de renormalização no espaço de momentos[editar | editar código-fonte]

Suponha uma teoria quântica de campos com campos ${\displaystyle \phi (x)}$ e constantes de acoplamento ${\displaystyle g}$ descrita pela ação clássica ${\displaystyle S(\phi ,g)}$. Vamos considerar a expansão em modos de Fourier de ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \phi (x)=\int dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)}$

x

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

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  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

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  N l    El                 tf l

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Usualmente, a integral é sobre todas as frequências ${\displaystyle 0\leq |k|\leq \infty }$. Neste caso, várias funções de correlação podem não ser bem definidas. Uma forma de regularizar a teoria é introduzir uma frequência de corte ultravioleta ${\displaystyle \Lambda _{UV}}$. Isto é, limitamos a integral ao disco

${\displaystyle |k|\leq \Lambda _{UV}}$

Chamaremos esse campos de ${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ e diremos que ele é o campo na escala ${\displaystyle \Lambda _{UV}}$. Então

${\displaystyle \phi _{0}(x)=\int _{0\leq |k|\leq \Lambda _{UV}}dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)}$

x

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

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  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......
  
  X =

  ΤDCG

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  x

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• X
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

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Também chamaremos a constante de acoplamento de ${\displaystyle g_{0}}$. A função partição sobre os campos ${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ é

${\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\phi _{0}\;e^{-S(\phi _{0},g_{0})}}$

x

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

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  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......
  
  X =

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Já que alguns dos modos de Fourier estão faltando, o campo ${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ é praticamente constante em distâncias menores que ${\displaystyle \Delta x\simeq 1/\Lambda _{UV}}$. Então, introduzir uma frequência de corte ultravioleta é o mesmo que introduzir um corte em pequenas distâncias. É óbvio que a introdução desse limite quebra a simetria de Poincaré. Eventualmente, vamos tomar o limite do contínuo ${\displaystyle 1/\Lambda _{UV}\rightarrow 0}$, onde a simetria de Poincaré é recuperada. A questão de renormalizabilidade é se podemos fazer isso mantendo as quantidades físicas numa escala de energia finita ${\displaystyle \mu }$ regulares.^[2]

Vamos decompor a região de integração da expansão em modos em duas partes:

${\displaystyle 0\leq |k|\leq \mu }$ e ${\displaystyle \mu \leq |k|\leq \Lambda _{UV}}$

Chamaremos as expansões em modos correspondentes por

${\displaystyle \phi _{B}(x)=\int _{0\leq |k|\leq \mu }dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)}$

${\displaystyle \phi _{A}(x)=\int _{\mu \leq |k|\leq \Lambda _{UV}}dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)}$

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TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

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  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......
  
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onde B e A referem-se a Baixas e Altas energias. Nós gostaríamos de estudar o comportamento da teoria em energias menores que ${\displaystyle \mu }$, por exemplo, amplitudes de espalhamento de partículas com momentos ${\displaystyle \leq \mu }$. O que procuramos então é uma ação que descreva esses efeitos somente em termos de ${\displaystyle \phi _{B}(x)}$. Ela pode ser obtida integrando sobre ${\displaystyle \phi _{A}(x)}$na integral de trajetória, mantendo ${\displaystyle \phi _{B}(x)}$ variável

${\displaystyle e^{-S_{eff}(\phi _{A},g_{0})}=\int {\mathcal {D}}\phi _{A}\;e^{-S(\phi _{B}+\phi _{A},g_{0})}}$

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TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

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  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
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Isso é chamado teoria de campos efetiva na energia ${\displaystyle \mu }$. Por vezes, quando tomamos o limite para o contínuo ${\displaystyle \Lambda _{UV}/\mu \rightarrow \infty }$, a expressão para a ação fica divergente e isso é a indicação que precisamos mudar a descrição da teoria em baixas energias. Nos casos mais drásticos, precisamos encontrar um novo conjunto completamente novo de campos e simetrias para descrever a teoria. Contudo, em muitos casos, a mudança de variáveis e parâmetros têm a forma:

${\displaystyle g_{0}=g_{0}(g,{\frac {\Lambda _{UV}}{\mu }})}$

${\displaystyle \phi _{0}(x)=Z(g,{\frac {\Lambda _{UV}}{\mu }})\phi (x)+\phi _{A}(x)}$

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Aqui, ${\displaystyle \phi (x)}$ e ${\displaystyle g}$ são os novos campos, em termos dos quais a ação efetiva

${\displaystyle e^{-S_{eff}(\phi ,g,\mu )}=\int {\mathcal {D}}\phi _{A}\;e^{-S(\phi _{0},g_{0})}}$

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  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......
  
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é regular no limite para o contínuo. Os campos ${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ e as contantes ${\displaystyle g_{0}}$ na escala de corte ${\displaystyle \Lambda _{UV}}$ são chamados de campos nus e constantes de acoplamentos nuas, enquanto ${\displaystyle \phi (x)}$ e ${\displaystyle g}$ são ditas renormalizados.

Equação de Callan-Symanzik[editar | editar código-fonte]

Se pode olhar para essa mudança de campos e constantes de duas formas. Uma forma de ver é fixar ${\displaystyle \mu }$ e variar ${\displaystyle \Lambda _{UV}}$. Nós fixamos os campos ${\displaystyle \phi (x)}$ e constantes de acoplamento ${\displaystyle g}$ numa escala ${\displaystyle \mu }$ (com os valores medidos nessa escala) e mudamos os campos nus ${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ e as contantes nuas ${\displaystyle g_{0}}$. Se pudermos mover ${\displaystyle \Lambda _{UV}}$ para o infinito sem mudar o comportamento do sistema na energia ${\displaystyle \mu }$ (descrito por ${\displaystyle \phi (x)}$ e ${\displaystyle g}$), então, nesse limite, obtemos uma teoria quântica de campos com simetria de Poincaré.

Uma outra forma de ver é mover ${\displaystyle \mu }$, fixando ${\displaystyle \Lambda _{UV}}$ e consequentemente ${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ e ${\displaystyle g_{0}}$. Desta forma, o campo renormalizado e a constante de acoplamento renormalizada é que mudam com a escala. Essa constante é dita constante de acoplamento corredora. Em particular, se mudamos a escala de ${\displaystyle \mu _{1}}$ para ${\displaystyle \mu _{2}}$, as constantes de acoplamento mudarão de ${\displaystyle g_{1}=(g_{0},{\frac {\mu _{1}}{\Lambda _{UV}}})}$ para ${\displaystyle g_{2}=g(g_{0},{\frac {\mu _{2}}{\Lambda _{UV}}})}$, onde ${\displaystyle g(g_{0},{\frac {\mu }{\Lambda _{UV}}})}$ é a inversa da função definida anteriormente. Com efeito, definindo um campo com contribuições dos modos de Fourier entre ${\displaystyle \mu _{1}\leq |k|\leq \mu _{2}}$, podemos repetir o raciocínio e escrever ${\displaystyle g_{2}=g(g_{1},{\frac {\mu _{2}}{\mu _{1}}})}$. Desta forma, uma mudança de escala induz uma mudança das contantes de acoplamento através do campo vetorial

${\displaystyle \beta (g)=\mu {\frac {d}{d\mu }}g(g_{1},{\frac {\mu }{\mu _{1}}})|_{g_{1}=g,\mu _{1}=\mu }}$

Essa equação é chamada de equação de Callan-Symanzik^[3] e o campo vetorial ${\displaystyle \beta (g)}$ é chamado função beta da constante de acoplamento ${\displaystyle g}$.

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